TanA=n tanB and SinA=m sinB prove …

Given, 
tan A = n tan B

{tex} \Rightarrow{/tex} tanB = {tex}\frac{1}{n}{/tex}tan A

{tex}\Rightarrow{/tex} cotB = {tex}\frac { n } { \tan A }{/tex}..........(1)

Also given, 

sin A = m sin B

{tex}\Rightarrow{/tex} sin B = {tex}\frac{1}{m}{/tex}sin A

{tex}\Rightarrow{/tex} cosec B = {tex}\frac { m } { \sin A }{/tex}.....(2)

We know that, cosec²B - cot²B = 1, hence from (1) & (2) :-

{tex} \quad \frac { m ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } A } - \frac { n ^ { 2 } } { \tan ^ { 2 } A } = 1{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \frac { m ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } A } - \frac { n ^ { 2 } \cos ^ { 2 } A } { \sin ^ { 2 } A } = 1{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \frac { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \cos ^ { 2 } A } { \sin ^ { 2 } A } = 1{/tex}
{tex}\Rightarrow{/tex} m² - n²cos²A = sin²A
{tex}\Rightarrow{/tex} m² - n²cos²A = 1 - cos²A
{tex}\Rightarrow{/tex} m² - 1 = n²cos²A - cos²A
{tex}\Rightarrow{/tex} m² - 1 = (n² - 1) cos²A
{tex}\Rightarrow \quad \frac { m ^ { 2 } - 1 } { n ^ { 2 } - 1 } ={/tex} cos²A