Find the ratio in which the …

Given:−​ \: \: \: \: \: \: \: P \: {({-4}, \: {6})} \: \: divides \: \: the \: \: line \: \: segment \: \: joining \: \: the \: \: point \: \: A \: {({-6}, \: {10})} \: \: and \: \: B \: {({3}, \: {-8})}P(−4,6)dividesthelinesegmentjoiningthepointA(−6,10)andB(3,−8) \underline\mathfrak{To \: \: Find:-}ToFind:−​ \: \: \: \: \: find \: \: the \: \: ratio.?findtheratio.? \underline\mathfrak{Solutions:-}Solutions:−​ \: \: \: \: \: \: \: {x} \: \: \: = \: \: \: {-4} \: \: \: \: \: \: \: \: {y} \: \: \: = \: \: \: {6}x=−4y=6 \: \: \: \: \: \: \: {x_1} \: \: \: = \: \: \: {-6} \: \: \: \: \: \: \: \: {y_1} \: \: \: = \: \: \: {10}x1​=−6y1​=10 \: \: \: \: \: \: \: {x_2} \: \: = \: \: {3} \: \: \: \: \: \: \: \: {y_2} \: \: = \: \: {-8}x2​=3y2​=−8 \: \: \: \: \: \fbox{{x} \: \: = \: \: \frac{{mx_2} \: + \: {nx_1}}{m \: + \: n} \: \: \: \: \: \: \: {y} \: \: = \: \: \frac{my_2} \: + \: {ny_1}{m \: + \: n}} \: \: \: \: \: \therefore {x} \: \: = \: \: \frac{{mx_2} \: + \: {nx_1}}{m \: + \: n}∴x=m+nmx2​+nx1​​ \: \: \: \: \: \leadsto {-4} \: \: = \: \: \frac{m \: {3} \: + \: n \: {-6}}{m \: + \: n}⇝−4=m+nm3+n−6​ \: \: \: \: \: \leadsto {-4m} \: - \: {4n} \: \: = \: \: {3m} \: + \: {(-6n)}⇝−4m−4n=3m+(−6n) \: \: \: \: \: \leadsto {-4m} \: - \: {4n} \: \: = \: \: {3m} \: - \: {6n}⇝−4m−4n=3m−6n \: \: \: \: \: \leadsto {-4m} \: - \: {3m} \: \: = \: \: {-6n} \: + \: {4n}⇝−4m−3m=−6n+4n \: \: \: \: \: \leadsto {-7m} \: \: = \: \: {-2n}⇝−7m=−2n \: \: \: \: \: \leadsto \frac{m}{n} \: \: = \: \: \frac{-2}{-7}⇝nm​=−7−2​ \: \: \: \: \: \leadsto {m} \: : \: {n} \: \: = \: \: {2} \: : \: {7}⇝m:n=2:7 \: \: \: \: \: \therefore {x} \: \: = \: \: \frac{{my_2} \: + \: {ny_1}}{m \: + \: n}∴x=m+nmy2​+ny1​​ \: \: \: \: \: \leadsto {6} \: \: = \: \: \frac{m \: {-8} \: + \: n \: {10}}{m \: + \: n}⇝6=m+nm−8+n10​ \: \: \: \: \: \leadsto {6m} \: - \: {6n} \: \: = \: \: {-8m} \: + \: {10n}⇝6m−6n=−8m+10n \: \: \: \: \: \leadsto {6m} \: - \: {8m} \: \: = \: \: {10n} \: - \: {6n}⇝6m−8m=10n−6n \: \: \: \: \: \leadsto {14m} \: \: = \: \: {4n}⇝14m=4n \: \: \: \: \: \leadsto \frac{m}{n} \: \: = \: \: \frac{2}{7}⇝nm​=72​ \: \: \: \: \: \leadsto {m} \: : \: {n} \: \: = \: \: {2} \: : \: {7}⇝m:n=2:7