if asinA+bcosA=c,then prove that acosA-bsinA=root of …

We have, {tex}asin\theta+bcos\theta=c{/tex}

On squaring both sides, we get

{tex}(asin\theta+bcos\theta)^2=c^2{/tex}

(a sin θ)² + (b cos θ)² + 2(a sin θ) (b cos θ) = c²

⇒ a² sin² θ + b² cos² θ + 2ab sin θ cos θ = c²

⇒ a²(1 – cos² θ) + b² (1 – sin² θ) + 2 ab sin θ cos θ = c^{2    {tex}[\because sin^2\theta+cos^2\theta=1]{/tex}}

⇒ a² – a² cos² θ + b² – b² sin² θ + 2ab sin θ cos θ = c²

⇒ –a² cos² θ – b² sin² θ + 2ab sin θ cos θ = c² – a² – b²    

Taking Negative common,

⇒ a² cos² θ + b² sin² θ – 2ab sin θ cos θ = a² + b² – c²

⇒ (a cos θ)² + (b sin θ)² – 2(a cos θ) (b sin θ) = a² + b² – c²

⇒ {tex}(acos\theta-bsin\theta)^2=a^2+b^2-c^2{/tex}

⇒{tex}acos\theta-bsin\theta{/tex} = {tex}\pm \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } }{/tex} 

Hence proved,  {tex}acos\theta-bsin\theta{/tex} = {tex}\sqrt{a^2+b^2-c^2}{/tex}