The sum of first n terms …

S₁ = 1 + 2 + 3 + ....n
S₂ = 1 + 3 + 5 + ...upto n terms
S₃ = 1 + 4 + 7 + ...upto n terms
{tex}S _ { n} = \frac { n } { 2 } [ 2a + ( n - 1 ) d ]{/tex}
{tex}S _ { 1} = \frac { n } { 2} [ 2 (1) + ( n - 1 ) 1 ]{/tex}
{tex}S _ { 1} = \frac { n } { 2} [ 2 + n - 1 ]{/tex}
or, {tex}S _ { 1 } = \frac { n ( n + 1 ) } { 2 }{/tex}
Also, {tex}S _ { 2 } = \frac { n } { 2 } [ 2 \times 1 + ( n - 1 ) 2 ]{/tex}
{tex}S _ { 2 } = \frac { n } { 2 } [ 2 + 2n - 2 ]{/tex}
{tex}= \frac { n } { 2 } [ 2 n ] = n ^ { 2 }{/tex}
and {tex}S _ { 3 } = \frac { n } { 2 } [ 2 \times 1 + ( n - 1 ) 3 ]{/tex}
{tex}S _ { 3 } = \frac { n } { 2 } [ 2 + 3n - 3 ]{/tex}
{tex}= \frac { n ( 3 n - 1 ) } { 2 }{/tex}
Now, {tex}S _ { 1 } + S _ { 3 } = \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } + \frac { n ( 3 n - 1 ) } { 2 }{/tex}
{tex}= \frac { n [ n + 1 + 3 n - 1 ] } { 2 }{/tex}
{tex}= \frac { n [ 4 n ] } { 2 }{/tex}
= 2n² = 2S₂
Hence Proved.