Find the value of (1+cos pi/8)(1+cos …

Find the value of (1+cos pi/8)(1+cos 3pi/8)(1+cos 5pi/8)(1+cos 7pi/8)

Posted by Mewa Singh 6 years, 5 months ago

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Sia ? 6 years, 5 months ago

{tex}cos^4{/tex} {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} {tex}+ cos^4{/tex} {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex}{tex} + cos^4{/tex} {tex}\frac { 5 \pi } { 8 }{/tex} {tex}+ cos^4{/tex} {tex}\frac { 7 \pi } { 8 }{/tex}
{tex}= cos^4{/tex} {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} {tex}+ cos^4{/tex} {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} {tex}+ cos^4{/tex}{tex}\left( \frac { \pi } { 2 } + \frac { \pi } { 8 } \right){/tex} {tex}+ cos^4{/tex}{tex}\left( \frac { \pi } { 2 } + \frac { 3 \pi } { 8 } \right){/tex}
{tex}= cos^4{/tex} {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} {tex}+ cos^4{/tex} {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} {tex}+ sin^4{/tex} {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} {tex}+ sin^4{/tex} {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} [{tex}\because{/tex} cos {tex}\left( \frac { \pi } { 2 } + \theta \right){/tex} = - sin {tex}\theta{/tex}]
= (cos⁴ {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} + sin⁴ {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex}) + (cos⁴ {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} + sin⁴ {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex})
= (cos⁴ {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} + sin⁴ {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} + 2 sin² {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} cos² {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} - 2 sin² {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} cos² {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex}) + (cos⁴{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} + sin⁴ {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} + 2 sin²{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} cos² {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} - 2 sin²{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} cos²{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex})
= (cos²{tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} + sin²{tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex})²- 2 sin²{tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} cos²{tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} + (cos²{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} + sin²{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex})² - 2 sin²{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex} cos²{tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex}
[{tex}\because{/tex} {tex}a^4 + b^4 = (a^2 + b^2) - 2a^2 b^2{/tex}]
= 1 - {tex}\frac { 1 } { 2 }{/tex} (2 sin {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex} cos {tex}\frac { \pi } { 8 }{/tex})²+ 1 - {tex}\frac { 1 } { 2 }{/tex} (2 sin {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex}cos {tex}\frac { 3 \pi } { 8 }{/tex})²
[{tex}\because{/tex} {tex}sin^2\theta + cos^2\theta = 1{/tex}]
= 2 - {tex}\frac { 1 } { 2 }{/tex} (sin 2 {tex}\times \frac { \pi } { 8 } ) ^ { 2 }{/tex} - {tex}\frac { 1 } { 2 }{/tex} (sin 2 {tex}\times \frac { 3 \pi } { 8 }{/tex})² [{tex}\because{/tex} sin 2x = 2 sinx cosx]
= 2 - {tex}\frac { 1 } { 2 }{/tex} sin² {tex}\frac { \pi } { 4 }{/tex} - {tex}\frac { 1 } { 2 }{/tex} sin² {tex}\frac { 3 \pi } { 4 }{/tex}
= 2 - {tex}\frac { 1 } { 2 }{/tex} {tex}\times \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \times \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 }{/tex}
[{tex}\because{/tex} sin {tex}\frac { 3 \pi } { 4 }{/tex} = sin {tex}\left( \pi - \frac { \pi } { 4 } \right){/tex} = sin {tex}\frac { \pi } { 4 }{/tex}= {tex}\frac1{\sqrt2}{/tex}]
= 2 - {tex}\frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 }{/tex}
= 2 - {tex}\frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 }{/tex} = 2 - {tex}\frac { 1 } { 2 } = \frac { 3 } { 2 }{/tex}