Find the value of 'K' which …

{tex}2x + 3y = 7{/tex}
{tex}(k - 1) x + (k + 2)y = 3k{/tex}
These are of the form
{tex}a_1x + b_1y + c_1 = 0 ,\ a_2x + b_2y + c_2 = 0{/tex}
where,
{tex}a_1= 2 ,\ b_1= 3,\ c_1 = -7,{/tex}
{tex}a_2=k - 1 \ ,b_2= k + 2 ,\ c_2 = -3k {/tex} for infinitely many solutions, we must have
{tex}\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } = \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } = \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } }{/tex}
This hold only when
{tex}\frac { 2 } { k - 1 } = \frac { 3 } { k + 2 } = \frac { - 7 } { - 3 k }{/tex}
{tex}\frac { 2 } { k - 1 } = \frac { 3 } { k + 2 } = \frac { 7 } { 3 k }{/tex}
Now the following cases arises:
Case I:
{tex}\frac { 2 } { k - 1 } = \frac { 3 } { k + 2 }{/tex}
{tex}\Rightarrow{/tex}2(k + 2) = 3(k -1)

{tex}\Rightarrow{/tex}2k + 4= 3k - 3
{tex}\Rightarrow{/tex} k = 7
Case II:
{tex}\frac { 3 } { k + 2 } = \frac { 7 } { 3 k }{/tex}
{tex}\Rightarrow{/tex}7(k + 2) = 9k

{tex}\Rightarrow{/tex}7k + 14= 9k
{tex}\Rightarrow{/tex} k = 7
Case III:
{tex}\frac { 2 } { k - 1 } = \frac { 7 } { 3 k }{/tex}
{tex}\Rightarrow{/tex} 7k - 7 = 6k
{tex}\Rightarrow{/tex} k = 7
For k = 7, there are infinitely many solutions of the given system of equations.