If son theta =a²-b²/a²+b², find the …

We have,
{tex}\sin \theta = \frac { \text { Perpendicular } } { \text { Hypotenuse } } = \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }{/tex}
So, Let us draw a right triangle ABC in which {tex}\angle B{/tex} is right angle, we have
Perpendicular = BC = a² - b²  Hypotenuse = AC = a² + b²  and, {tex}\angle B A C = \theta{/tex}
By Pythagoras theorem, we have
AC² = AB² + BC²
{tex}\Rightarrow \quad \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) ^ { 2 }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad A B ^ { 2 } = \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) ^ { 2 }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad A B ^ { 2 } = \left( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right) - \left( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } - 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right){/tex}
{tex}\Rightarrow \quad A B ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } = ( 2 a b ) ^ { 2 }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad A B = 2 a b{/tex} 
Now, Let{tex}\angle B A C = \theta{/tex} 
We have
Base = AB = 2ab, Perpendicular {tex}= \mathrm { BC } = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }{/tex}, Hypotenuse = AC = a² + b²
Therefore, {tex}\quad \cos \theta = \frac { \text { Base } } { \text { Hypotenuse } } = \frac { 2 a b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }{/tex}, {tex}\tan \theta = \frac { \text { Perpendicular } } { \text { Base } } = \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a b }{/tex}
{tex}\quad cosec \;\theta = \frac { \text { Hypotenuse } } { \text { Perpendicular } } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } , \quad \sec \theta = \frac { \text { Hypotenuse } } { \text { Base } } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 a b }{/tex}
and, {tex}\cot \theta = \frac { \text { Base } } { \text { Perpendicular } } = \frac { 2 a b } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }{/tex}