TanA/1-cotA+cotA/1-tanA=1+tanA+cotA

We have,
{tex}\mathrm { LHS } = \frac { \tan A } { 1 - \cot A } + \frac { \cot A } { 1 - \tan A }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \mathrm { LHS } = \frac { \tan A } { 1 - \frac { 1 } { \tan A } } + \frac { \frac { 1 } { \tan A } } { 1 - \tan A }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \text { LHS } = \frac { \tan A } { \frac { \tan A -1 } { \tan A } } + \frac { 1 } { \tan A ( 1 - \tan A ) }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \mathrm { LHS } = \frac { \tan ^ { 2 } A } { \tan A - 1 } + \frac { 1 } { \tan A ( 1 - \tan A ) }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \text { LHS } = \frac { \tan ^ { 2 } A } { \tan A - 1 } - \frac { 1 } { \tan A ( \tan A - 1 ) }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \mathrm { LHS } = \frac { \tan ^ { 3 } A - 1 } { \tan A ( \tan A - 1 ) }{/tex} [Taking LCM]
{tex}\Rightarrow \quad \mathrm { LHS } = \frac { ( \tan A - 1 ) \left( \tan ^ { 2 } A + \tan A + 1 \right) } { \tan A ( \tan A - 1 ) }{/tex} [{tex}\because{/tex} a³ - b³ = ( a - b )(a² + ab + b²)]
{tex}\Rightarrow \quad \mathrm { LHS } = \frac { \tan ^ { 2 } A + \tan A + 1 } { \tan A }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \mathrm { LHS } = \frac { \tan ^ { 2 } A } { \tan A } + \frac { \tan A } { \tan A } + \frac { 1 } { \tan A }{/tex}
{tex}\Rightarrow{/tex} LHS = tanA + 1 + cotA = RHS [ since (1/tanA) =cotA ]