if sec theta = x+1/x, prove …

By the given condition of question 
{tex}\sec \theta = x + \frac { 1 } { 4 x }{/tex}
{tex}\therefore \quad \tan ^ { 2 } \theta = \sec ^ { 2 } \theta - 1{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \tan ^ { 2 } \theta = \left( x + \frac { 1 } { 4 x } \right) ^ { 2 } - 1 = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 16 x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } - 1 = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 16 x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } = \left( x - \frac { 1 } { 4 x } \right) ^ { 2 }{/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \tan \theta = \pm \left( x - \frac { 1 } { 4 x } \right){/tex}
{tex}\Rightarrow \quad \tan \theta = \left( x - \frac { 1 } { 4 x } \right) \text { or, } \tan \theta = - \left( x - \frac { 1 } { 4 x } \right){/tex}
CASE 1: When {tex}\tan \theta = - \left( x - \frac { 1 } { 4 x } \right) :{/tex} In this case,
{tex}\sec \theta + \tan \theta = x + \frac { 1 } { 4 x } + x - \frac { 1 } { 4 x } = 2 x{/tex}
CASE 2: When {tex}\theta = - \left( x - \frac { 1 } { 4 x } \right) :{/tex} In this case,
{tex}\sec \theta + \tan \theta = \left( x + \frac { 1 } { 4 x } \right) - \left( x - \frac { 1 } { 4 x } \right) = \frac { 2 } { 4 x } = \frac { 1 } { 2 x }{/tex}
Hence, {tex}\sec \theta + \tan \theta = 2 x \text { or } , \frac { 1 } { 2 x }{/tex}