If p,q are prime positive integers …

Suppose that {tex} \sqrt { p } + \sqrt { q }{/tex} is a rational number equal to {tex} \frac { a } { b }{/tex}, where a and b are integers having no common factor.
Now, {tex} \sqrt { p } + \sqrt { q } = \frac { a } { b }{/tex}
{tex} \Rightarrow \sqrt { p } = \frac { a } { b } - \sqrt { q }{/tex}       (squaring both side)
{tex} \Rightarrow \quad ( \sqrt { p } ) ^ { 2 } = \left( \frac { a } { b } - \sqrt { q } \right) ^ { 2 }{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad p = \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - 2 \left( \frac { a } { b } \right) \sqrt { q } + q{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad 2 \left( \frac { a } { b } \right) \sqrt { q } = \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + q - p{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad 2 \frac { a } { b } \sqrt { q } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( q - p ) } { b ^ { 2 } }{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad \sqrt { q } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( q - p ) } { 2 a b }{/tex}
{tex} \Rightarrow \sqrt { q }{/tex} is a rational number. (because sum of two rational numbers is always rational)
This is a contradiction as {tex} \sqrt { q }{/tex} is an irrational number.
Hence, {tex} \sqrt { p } + \sqrt { q }{/tex} is an irrational number.