If m = cosecA-sinA and n= …

We have,
cosec{tex}\theta{/tex} - sin{tex}\theta{/tex} = m and sec{tex}\theta{/tex} - cos{tex}\theta{/tex} = n
{tex}\Rightarrow \quad \frac { 1 } { \sin \theta } - \sin \theta = m \text { and } \frac { 1 } { \cos \theta } - \cos \theta{/tex} = n
{tex}\Rightarrow \quad \frac { 1 - \sin ^ { 2 } \theta } { \sin \theta } = m \text { and } \frac { 1 - \cos ^ { 2 } \theta } { \cos \theta }{/tex} = n
{tex}\Rightarrow \quad \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \sin \theta } = m \text { and } \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos \theta }{/tex} = n
{tex}\therefore \quad \left( m ^ { 2 } n \right) ^ { 2 / 3 } + \left( m n ^ { 2 } \right) ^ { 2 / 3 } = \left( \frac { \cos ^ { 4 } \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } \times \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos \theta } \right) ^ { 2 / 3 } + \left( \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \sin \theta } \times \frac { \sin ^ { 4 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta } \right) ^ { 2 / 3 }{/tex}
= (cos³{tex}\theta{/tex})^2/3 + (sin³{tex}\theta{/tex})^2/3 = cos²{tex}\theta{/tex} + sin²{tex}\theta{/tex} = 1
Hence, (m²n)^2/3 + (mn²)^2/3 = 1