Use Euclid division lemma to show …

Let a = 3q + r {tex}: 0 \leq r < 3{/tex} 
{tex}\therefore \quad a = 3 q ; \text { then } a ^ { 3 } = 27 q ^ { 3 } = 9 m ; \text { where } m = 3 q ^ { 3 }{/tex}
{tex}\text { when } a = 3 q + 1 ; \text { then } a = 27 q ^ { 2 } + 27 q ^ { 2 } + 9 q + 1{/tex}
{tex}= 9 \left( 3 q ^ { 3 } + 3 q ^ { 2 } + q \right) + 1{/tex}
{tex}= 9 m + 8 \quad \left( \text { where } m = 3 q ^ { 3 } + 3 q ^ { 2 } + q \right){/tex}
{tex}\text { when } a = 3 q + 2 ; \text { then } a ^ { 3 } = ( 3 q + 2 ) ^ { 2 }{/tex}
{tex}= 27 q ^ { 3 } + 54 q ^ { 2 } + 36 q + 8{/tex}
{tex}= 9 m + 8 \quad \left( \text { where } m = 3 q ^ { 3 } + 6 q ^ { 2 } + 4 q \right){/tex}
{tex}= 9 m + 8 \quad \left( \text { where } m = 3 q ^ { 3 } + 6 q ^ { 2 } + 4 q \right){/tex}
Hence, cubes of any positive integer is either of the from 9m, (9m + 1) or (9m + 8).