Prove that the sum of the …

Given: Let, ABCD is a rhombus and since diagonals of a rhombus bisect each other at {tex} 90 ^ { \circ }{/tex}

To Prove: {tex} \therefore A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } + A D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 }{/tex}
Proof : 
{tex}\therefore {/tex}{tex}A O = O C {/tex} 
{tex}\Rightarrow A O ^ { 2 } = O C ^ { 2 }{/tex}
{tex}B O = O D {/tex} 
{tex}\Rightarrow B O ^ { 2 } = O D ^ { 2 }{/tex}
and {tex}\angle A O B = 90 ^ { \circ }{/tex} 
{tex}\therefore {/tex} {tex} A B ^ { 2 } = O A ^ { 2 } + B O ^ { 2 }{/tex}
Similarly, {tex} A D ^ { 2 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } {/tex}
{tex}BC ^ { 2 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } {/tex}
{tex}C D ^ { 2 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } {/tex}  
{tex} \therefore A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } + D A ^ { 2 } = 4 A O ^ { 2 } + 4 D O ^ { 2 }{/tex} 
{tex} = ( 2 A O ) ^ { 2 } + ( 2 D O ) ^ { 2 }{/tex} 
{tex} = ( 2 x ) ^ { 2 } + ( 2 y ) ^ { 2 }{/tex} 
{tex} \therefore A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } + A D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 }{/tex} 
Hence proved.