If a+b+c=5

As we know, 

{tex}a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } - 3 a b c ={/tex}{tex}( a + b + c ) \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a b - b c - c a \right){/tex}

{tex}= ( a + b + c ) \left[ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - ( a b + b c + c a ) \right]{/tex}

{tex}= 5 \left\{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - ( a b + b c + c a ) \right\}{/tex}

{tex}= 5 \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 10 \right){/tex}

Now, {tex} a + b + c = 5{/tex}

Squaring both sides, we get

{tex}( a + b + c ) ^ { 2 } = 5 ^ { 2 }{/tex}

{tex}\Rightarrow a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 ( a b + b c + c a ) = 25{/tex}

{tex}\therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 ( 10 ) = 25{/tex}

{tex}\Rightarrow a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 25 - 20 = 5{/tex}

Now, {tex}a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ { 3 } - 3 a b c = 5 \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 10 \right){/tex}

{tex}= 5 ( 5 - 10 ) = 5 ( - 5 ) = - 25{/tex}

Hence, proved.