If angle B and angleQ are …

Consider two right triangles ABC and PQR in which {tex} \angle B{/tex}  and {tex}\angle Q{/tex}  are the right angles.
We have,

In {tex}\triangle ABC{/tex}
{tex}\sin B=\frac{AC}{AB}{/tex} 
and, In {tex}\triangle PQR{/tex} 
{tex}\sin Q=\frac{PR}{PQ}{/tex}
{tex} \because \quad \sin B = \sin Q{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad \frac { A C } { A B } = \frac { P R } { P Q }{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad \frac { A C } { P R } = \frac { A B } { P Q } = k{/tex}(say) ...... (i)
{tex} \Rightarrow {/tex} AC = kPR and AB = kPQ .....(ii)
Using Pythagoras theorem in triangles ABC and PQR, we obtain 
AB² = AC² + BC² and PQ² = PR² + QR²
{tex} \Rightarrow \quad B C = \sqrt { A B ^ { 2 } - A C ^ { 2 } } \text { and } Q R = \sqrt { P Q ^ { 2 } - P R ^ { 2 } }{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad \frac { B C } { Q R } = \frac { \sqrt { A B ^ { 2 } - A C ^ { 2 } } } { \sqrt { P Q ^ { 2 } - P R ^ { 2 } } } = \frac { \sqrt { k ^ { 2 } P Q ^ { 2 } - k ^ { 2 } P R ^ { 2 } } } { \sqrt { P Q ^ { 2 } - P R ^ { 2 } } }{/tex} [ using (ii) ]
{tex} \Rightarrow \quad \frac { B C } { Q R } = \frac { k \sqrt { P Q ^ { 2 } - P R ^ { 2 } } } { \sqrt { P Q ^ { 2 } - P R ^ { 2 } } } = k{/tex}...(iii)
From (i) and (iii), we get
{tex} \frac { A C } { P R } = \frac { A B } { P Q } = \frac { B C } { Q R }{/tex}
{tex} \Rightarrow \quad \Delta A C B - \Delta P R Q{/tex} [By S.A.S similarity]
{tex} \therefore \quad \angle B = \angle Q{/tex} 
Hence proved.