a/x-b/y=0 ab2/x+a2b/y=a2+b2 by cross multiplication

The given equations are
$\frac { a } { x } - \frac { b } { y } = 0$ ........... (i)
$\frac { a b ^ { 2 } } { x } + \frac { a ^ { 2 } b } { y } = \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right)$ ........... (ii)
Put $\frac 1x$= u and $\frac 1y$= v in the  equation (i) and (ii), we get
$\Rightarrow a u - b v = 0$ .............(iii)
$ab^2u + a^2bv - (a^2 + b^2) = 0$......(iv)
So, by cross multiplication,
$\frac { u } { b _ { 1 } c _ { 2 } - b _ { 2 } c _ { 1 } } = \frac { v } { c _ { 1 } a _ { 2 } - c _ { 2 } a _ { 1 } } = \frac { 1 } { a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } }$
$\Rightarrow \frac {u } { ( - b ) \left[ - \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) \right] - \left( a ^ { 2 } b \right) ( 0 ) }$$= \frac { v } { ( 0 ) \left( a ^ { 2 } b \right) - \left[ - \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) \right] ( a ) } = \frac { 1 } { ( a ) \left( a ^ { 2 } b \right) - \left( a ^ { 2 } b \right) ( - b ) }$
$\Rightarrow \frac { u } { b \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } = \frac { v } { a \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } = \frac { 1 } { a b \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) }$
$\frac { u } { b \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } = \frac { 1 } { a b \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) }$
$\Rightarrow \mathrm { u } = \frac { 1 } { \mathrm { a } }$
and $\frac { v } { a \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } = \frac { 1 } { a b \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) }$
$\Rightarrow \mathrm { v } = \frac { 1 } { \mathrm { b } }$
If $\mathrm { u } = \frac { 1 } { \mathrm { a } }$
$\Rightarrow$ $x = a$
$\mathrm { v } = \frac { 1 } { \mathrm { b } }$
$\Rightarrow$ $y = b$