If cos alpha/COS beta=m and cos …

Given, m = {tex}\frac { \cos \alpha } { \cos \beta }{/tex} ......(1) and,  n = {tex}\frac { \cos \alpha } { \sin \beta }{/tex}.......(2)

 LHS = (m² +n²) cos²{tex}\beta{/tex}
{tex}\Rightarrow \mathrm { LHS } = \left( \frac { \cos ^ { 2 } \alpha } { \cos ^ { 2 } \beta } + \frac { \cos ^ { 2 } \alpha } { \sin ^ { 2 } \beta } \right) \cos ^ { 2 } \beta{/tex} [ from (1) & (2) ]
{tex}\Rightarrow \mathrm { LHS } = \left( \frac { \cos ^ { 2 } \alpha \sin ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \alpha \cos ^ { 2 } \beta } { \cos ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \beta } \right) \cos ^ { 2 } \beta{/tex}
{tex}\Rightarrow \mathrm { LHS } = \cos ^ { 2 } \alpha \left( \frac { \sin ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \beta } { \cos ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \beta } \right) \cos ^ { 2 } \beta{/tex}
{tex}\Rightarrow \mathrm { LHS } = \cos ^ { 2 } \alpha \left( \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \beta } \right) \cos ^ { 2 } \beta{/tex}  [ Since, sin²A + cos²A =1]

{tex}\Rightarrow L.H.S. = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha } { \sin ^ { 2 } \beta } = \left( \frac { \cos \alpha } { \sin \beta } \right) ^ { 2 }{/tex}

{tex}\therefore L.H.S. = n^2{/tex} [ from (2) ]

 = R.H.S .  Hence, Proved.